Леонид Александрович Квинихидзе (Файнциммер) родился 21 декабря 1931 года в Ленинграде в семье известного советского кинорежиссера Александра Файнциммера. В 1961 году окончил режиссерский факультет ВГИКа (мастерская И. Копалина).
В 1955-56 механик съемочной аппаратуры на киностудии "Ленфильм", в 1958-60 режиссер Центрального телевидения, в 1960-63 режиссер ЦСДФ и Ленинградской студии кинохроники. С 1963 режиссер киностудии "Ленфильм", с 1977 года работал на "Мосфильме".
В художественном кино дебютировал в 1965 году, как режиссер фильма "Первый посетитель".
Известность Леониду Квинихидзе принесла телевизионная лента "Крах инженера Гарина" с Олегом Борисовым в заглавной роли, поставленная по роману Алексея Толстого, но наибольший зрительский успех выпал на его музыкальные фильмы "Соломенная шляпка", "Небесные ласточки", "31 июня", "Шляпа", "Мэри Поппинс, до свидания!", при создании которых Квинихидзе выступал также и в качестве сценариста, а главные роли в этих картинах исполняли такие звезды советского кино, как Людмила Гурченко, Андрей Миронов, Александр Абдулов, Наталья Андрейченко, Олег Янковский, Олег Табаков и многие другие.
В съемках фильма "Шляпа" в декабре 1980 года приняла участие группа "Автограф", четыре песни группы звучат в фильме.
Квинихидзе был главным режиссёром и художественным руководителем Московского государственного театра
Членом Союза кинематографистов РФ. Заслуженный деятель искусств РФ (1993).
Лауреат российской театральной премии "Золотая маска" в номинации "Лучшая работа режиссера" (2006, за постановку "Фигаро здесь!" в Новосибирском театре музыкальной комедии).
Дважды женат. Первая супруга - заслуженная артистка РСФСР, балерина Наталия Макарова (род. 1940). Вторая супруга - заслуженный деятель искусств РФ, балерина Екатерина Ельфимова (1965-2015).
Умер после продолжительной болезни 13 марта 2018 года, похоронен на Шушарском кладбище в Санкт-Петербурге.